Гильберт Давид

Гильберт Давид
\
Программа Гильберта и теоремы Гёделя
\
    Фреге, Пеано и Рассел, подобно Платону, верили в объективность мира математических соотношений, открываемых, а не изобретаемых учеными. Давид Гильберт, основатель формалистической школы, говорил, что математический объект существует, когда он определен непротиворечивым образом. Поэтому проблема доказательства сводится к построению непротиворечивости математической теории (т.е. к построению аксиоматической модели). И это становится центральной проблемой. В «Основаниях геометрит (1899) Гильберт попытался аксиоматизировать Евклидову геометрию. Все же нельзя сказать, что проблема была окончательно им решена. Никто не мог гарантировать непротиворечивость Евклидовой геометрии.
    Обнаруженные антиномии, кризис интуитивной очевидности аксиом, логицистские трудности, практичный, но не окончательный характер непротиворечивых теорий — все это подвигло Гильберта на создание программы, в рамках которой доказательство неотносительно, а «прямо» и «абсолютно» для аксиоматической системы. Поскольку классическая математика сводилась к трем большим аксиоматическим системам — арифметике, анализу и множествам, то естественно, что Гильберт начал с доказательства непротиворечивости арифметики, чтобы затем перейти к анализу и теории множеств. После Фреге был неизбежен скрупулезный анализ всех ингредиентов, лингвистических и логических механизмов развития теории. Все это ведет к полной формализации теории.
    Необходимо заметить, что формализация теории не означает ее символизацию. Формализовать теорию означает раздробить язык, введя в качестве правил формализации правила манипуляции принятыми формулами. Теория принимает форму чистого исчисления, где нет никаких ассоциаций с символами и их выражениями. А если все так, то непротиворечивость теории можно отождествить с невозможностью прохождения всей демонстративной цепочки. Утверждение при этом совпадет с отрицанием, что будет противоречием. Следовательно, полная аксиоматизация теории ведет к формализации и такой логике, назначение которой — конструировать эту теорию.
    Так какими же средствами мог Гильберт провести критический анализ логики в своей метаматике, если не с помощью той же логики? Разве это не порочный круг? И не к той же ли очевидности и интуиции прибег он для доказательства непротиворечивости? Гильберт пытался обосновать процедуры финитистскими методами, частично арифметическими. Финитистские методы сводятся к элементарным и интуитивным процедурам комбинаторного типа, используемым для конечного числа объектов и определяемых функций. Интуиция возвращена как средство обоснования математики, которая, как оказалось, всего лишь упрощает элементарные операции любого теоретическою исследования.
    Идеи Гильберта приняли многие талантливые математики, среди которых П. Бернайс (P. Bernays, 1888—1977), Дж. Гербрандт (J. Herbrandt, 1908—1931), В. Аккерман (W. Ackermann, 1898—1962), Дж. фон Нейман (J. Neumann, 1903—1957). Однако в 1931 г. Курт Гёдель (1906—1978) показал, что желаемую полноту аксиоматической теории чисел получить невозможно. Более того, формула логического исчисления, способного формализовать элементарную арифметику, недоказуема как формула, выражающая ее последовательность. Таким образом, непротиворечивости нельзя достичь, используя инструменты, принадлежащие к той же формальной системе. Это было настоящее поражение программы Гильберта. Гёдель показал невозможность чисто синтаксического доказательства непротиворечивости формальной системы. Гарантию такой логической последовательности теперь стали искать в интерпретациях и моделях исчисления.

Западная философия от истоков до наших дней. - "Петрополис".. . 1994.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Гильберт Давид" в других словарях:

  • Гильберт, Давид — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Гильберт. Давид Гильберт David Hilbert …   Википедия

  • Гильберт Давид — Хильберт (Hilbert) (1862 1943), немецкий математик, иностранный член корреспондент Российской АН (1922) и иностранный почетный член АН СССР (1934). Для творчества Гильберта характерна убеждённость в единстве математической науки, в единстве… …   Энциклопедический словарь

  • Гильберт, Давид — ГИЛЬБЕРТ (Hilbert) Давид (1862 1943), немецкий математик. Для творчества Гильберта характерна убежденность в единстве математики и естествознания. Труды Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, в которых он… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • Гильберт Давид — Гильберт, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кёнигсберга, ≈ 14.2.1943, Гёттинген), немецкий математик. Окончил Кёнигсбергский университет, в 1893≈95 профессор там же, в 1895≈1930 профессор Гёттингенского университета, до 1933… …   Большая советская энциклопедия

  • Гильберт Давид — …   Википедия

  • ГИЛЬБЕРТ Давид (1862 - 1943) — германский математик, логик, философ, руководитель одного из основных центров мировой математической науки первой трети 20 в. Геттингенской математической школы, исследования которого оказали определяющее влияние на развитие математических наук.… …   История Философии: Энциклопедия

  • Гильберт — или Гилберт (фр. Gilbert или англ. Gilbert, нем. Hilbert)  фамилия и мужское имя, распространённое во Франции, Великобритании, Германии, США. Как французское имя чаще произносится как Жильбер или Жибер. Содержание 1… …   Википедия

  • Давид Гильберт — David Hilbert Дата рождения: 23 января 1862 Место рождения: Велау, Пруссия Дата …   Википедия

  • ГИЛЬБЕРТ — (Hubert) Давид (род. 23 янв. 1862, Кенигсберг – ум. 14 февр. 1943, Гёттинген) – нем. математик и логик, профессор в Гёттингене с 1895 по 1936. Создал основополагающие работы по аксиоматике геометрии, арифметики и физики, в которых пытался… …   Философская энциклопедия

  • Гильберт, Хильберт Давид (Hilbert) — Гильберт, Хильберт (Hilbert) Давид (1862 1943) Немецкий математик. 1922 иностранный член корреспондент РАН; 1934 иностранный почетный член Академии наук СССР. Афоризмы, цитаты • Каждый человек имеет некоторый горизонт взглядов. Когда он сужается… …   Сводная энциклопедия афоризмов


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»